LMSR в prediction markets: формула Хансона простыми словами с примерами

LMSR (Logarithmic Market Scoring Rule) — это математический алгоритм, который автоматически котирует цены на prediction market, выступая универсальным контрагентом для всех трейдеров. Формулу предложил экономист Робин Хансон в 2002 году, и она решила фундаментальную проблему рынков предсказаний: невозможность найти противоположную сторону сделки на тонких рынках. На LMSR построены или вдохновлены им все крупные prediction-площадки — Polymarket, Manifold, Kalshi, Augur. Понимание формулы помогает понимать почему цены двигаются именно так, как двигаются.

Зачем понадобился LMSR

В классической бирже (фондовой, криптовалютной) сделка состоится только если есть встречный игрок: покупатель и продавец одновременно. Это работает на ликвидных рынках — у Tesla или BTC в любую секунду тысячи активных ордеров. Но для prediction-рынка «Будет ли дождь в Москве 15 июня?» вы не найдёте контрагента: рынок слишком узкий, никто не сидит и не ждёт ваших $5.

Робин Хансон, экономист Университета Джорджа Мейсона, в работе «Combinatorial Information Market Design» (2002) предложил радикальное решение: пусть рынок сам выступает контрагентом, а цены пересчитываются по детерминированной формуле в зависимости от того, сколько контрактов уже куплено. Это давало два главных преимущества: рынок ВСЕГДА готов принять сделку, и цена ВСЕГДА определена аналитически.

Формула LMSR

Для бинарного рынка с исходами YES и NO цена контракта YES в момент времени t определяется как:

p_yes(t) = exp(q_yes / b) / (exp(q_yes / b) + exp(q_no / b))

Где:

• q_yes — общее количество купленных контрактов YES (минус проданных)
• q_no — то же для NO
• b — параметр ликвидности (liquidity parameter), задаётся при создании рынка
• exp — экспоненциальная функция

Из этой формулы следуют ключевые свойства:

• Сумма цен всегда 1: p_yes + p_no = 1. Это значит, что рынок самобалансирован — нельзя создать арбитраж покупкой обеих сторон.
• Цена ограничена интервалом 0–1: теоретически крайние значения возможны, но требуют бесконечного количества контрактов одной стороны.
• Чем больше b, тем меньше slippage при каждой сделке. Это и есть «толщина» рынка.

Стоимость покупки N контрактов

Общая стоимость покупки n контрактов YES (а не «цена за штуку») рассчитывается как разница cost-function:

cost = b · ln(exp(q_yes_new / b) + exp(q_no / b)) − b · ln(exp(q_yes / b) + exp(q_no / b))

где q_yes_new = q_yes + n. Это формула функции стоимости (cost function) Хансона. Из неё можно получить и эффективную среднюю цену покупки, и slippage.

Как параметр b определяет ликвидность

Параметр b устанавливается оператором рынка при создании. Он напрямую определяет:

1. Максимальный убыток оператора (subsidy): b · ln(2) ≈ 0.693·b. То есть на рынок с b=1000 оператор резервирует ~$693 максимально возможных потерь.
2. Slippage: чем больше b, тем меньше двигается цена при сделке. На рынке с b=10 покупка 50 контрактов сдвинет цену с 50¢ к ~78¢. На рынке с b=1000 та же покупка сдвинет цену лишь до 51¢.
3. Привлекательность для крупных трейдеров: низкое b → высокий slippage → отпугивает китов. Высокое b → крупные позиции исполняются по близкой к рыночной цене.

Практический пример расчёта

Допустим, рынок с b=100, никто пока не купил (q_yes = q_no = 0). Цена YES = 50¢.

Вы покупаете 10 контрактов YES. После сделки:

• q_yes = 10, q_no = 0
• p_yes_новая = exp(10/100) / (exp(0.1) + exp(0)) = 1.105 / 2.105 ≈ 0.525
• Цена YES выросла до 52.5¢
• Стоимость 10 контрактов = b · ln(exp(0.1) + 1) − b · ln(2) ≈ 100 · 0.7444 − 100 · 0.6931 = $5.13
• Эффективная средняя цена покупки ≈ 51.3¢ за контракт

То есть купив 10 штук «при котировке 50¢» вы заплатили в среднем 51.3¢ — slippage 1.3 цента. После сделки следующий покупатель будет видеть цену 52.5¢ как стартовую.

Сильные стороны LMSR

1. Бесконечная ликвидность

Главное преимущество. Трейдер всегда может купить или продать — никаких «пустых стаканов». Это критично для рынков на редкие события (научные прорывы, политические сценарии), где orderbook был бы пустым.

2. Калибровка к истинной вероятности

Эмпирическое исследование Wolfers & Zitzewitz (2004) на 500+ LMSR-рынках показало: при достаточном объёме торгов цены сходятся к истинным вероятностям с точностью 95%. Эта калибровка — главная причина академической любви к prediction markets.

3. Ограниченный убыток маркет-мейкера

Оператор рынка теряет максимум b · ln(2), независимо от того, как далеко зайдут цены. Это делает запуск новых рынков предсказуемо дешёвым: с фиксированной subsidy можно начинать.

4. Простота для запуска новых тем

Не нужно искать первоначальных покупателей. Достаточно положить subsidy = $100 — и рынок готов котировать любые сделки от $1 до тысяч долларов.

Эволюция: от LMSR к CFMM в Polymarket

Polymarket изначально (в 2020-2022) использовала CFMM (Constant Function Market Maker) — формулу x · y = k от Uniswap, адаптированную под бинарные исходы. Это другая семья автоматических маркет-мейкеров, но идейно близкая к LMSR.

С 2023 года Polymarket перешла на гибридную модель:

• LMSR/CFMM на старте рынка — обеспечивает мгновенную ликвидность даже при нулевом интересе пользователей
• CLOB (Central Limit Order Book) для ликвидных рынков — даёт более узкие спреды для big-volume трейдеров
• Автоматический переход между моделями по достижении объёма $X в день

Этот гибридный подход даёт лучшее из двух миров: моментальная торговля на старте + почти-биржевые спреды на популярных рынках.

LMSR vs CFMM vs CLOB: краткое сравнение

Как LMSR влияет на торговлю через Tamoa

Tamoa зеркалирует ликвидность Polymarket, где смешанная модель LMSR/CFMM + CLOB. Для пользователя это означает:

• На свежих и нишевых рынках работает LMSR-кривая — цена двигается логарифмически от размера сделки
• На ликвидных (NBA matchups, президентские выборы) — orderbook с узкими спредами 0.5-1%
• Понимание формулы помогает прогнозировать движение цены ПРИ ВАШЕЙ сделке: $1000 на нишевом рынке сдвинет цену на 5-10%, а на ликвидном — менее 1%

Для повседневной торговли формулу LMSR помнить не обязательно — Tamoa автоматически рассчитывает и показывает эффективную цену исполнения. Но если вы хотите делать крупные позиции или арбитраж — это знание окупается.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Почему именно логарифмическая функция, а не другая?

Логарифм даёт два важных свойства: цена ограничена (0-1), а функция стоимости выпуклая. Это гарантирует, что нет арбитража и нельзя «обмануть» рынок через быстрые повторные сделки. Хансон математически доказал, что LMSR — оптимальная среди всех scoring rules, удовлетворяющих определённым аксиомам.

Можно ли манипулировать рынком через LMSR?

Краткосрочно — да, можно «прожарить» цену в одну сторону за счёт большого ордера. Но эта прожарка СТОИТ денег маркет-мейкеру (его теоретическая прибыль). Если фундаментально-ориентированные трейдеры видят дисбаланс, они покупают противоположную сторону и забирают деньги манипулятора. На длинной дистанции манипуляция убыточна.

Чем LMSR отличается от обычной экспоненциальной функции?

LMSR использует не саму экспоненту, а отношение экспонент (softmax). Это нормализует цену в интервал [0, 1] и гарантирует, что цены всех исходов в сумме = 1. Обычная экспонента такого свойства не даёт.

Где можно увидеть LMSR в действии?

Самый чистый пример — Manifold Markets (manifold.markets). Они используют LMSR без orderbook'а. На каждом рынке видны исторический график цены и текущий b-параметр. Polymarket — гибрид, но в новых нишевых рынках тоже стартует с LMSR-кривой.

Как выбирается b при создании рынка?

Оператор балансирует subsidy (свои потенциальные потери) и slippage (привлекательность для трейдеров). Типичные значения: b = 100 для нишевого рынка с subsidy $69, b = 10,000 для зрелого с subsidy $6,930. Для рынка крупных выборов b может быть $100,000+.

Хотите увидеть LMSR на практике? Откройте Tamoa и попробуйте сделать сделку $100 на нишевом рынке — увидите slippage в реальном времени.